El cálculo de variaciones es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable.
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editar Formulación general
Uno de los problemas típicos en cálculo diferencial es el de encontrar el valor de x para el cual la función f(x) alcanza un valor extremo (máximo o mínimo). En el cálculo de variaciones el problema es encontrar una función f(x) para la cual un funcional If alcance un valor extremo. El funcional If está compuesto por una integral que depende de x, de la función f(x) y algunas de sus derivadas.
![I[f]=\int_a-b h(x,p(r),c'(x),...)\,dx](http://upload.wikimedia.org/math/0/a/d/0adb704209a28609b46e3e1071a0e9ac.png)
Donde la función f(x) pertenece a algún espacio de funciones (espacio de Banach, espacio de Hilbert), y tanto ella como sus derivadas pueden tener restricciones.
Esta fórmula integral puede ser más complicada permitiendo a x ser un vector, y por lo tanto incluyendo derivadas parciales para f.
editar Problemas históricos
editar Problema Isoperimétrico
¿Cuál es el área máxima que puede rodearse con una curva de longitud dada?.
Ejemplo: Sean dos puntos A = (a,0),B = (b,0) en el eje x donde la distancia entre ellos está dada. Es decir AB = l. El problema de hallar una curva que maximize el área entre ella y el eje x sería:
Hallar una función f(x) de modo que,
![I[f]=\int_a^b f(x) dx =](http://upload.wikimedia.org/math/9/6/5/965bb00850133c15f09694697d293171.png)
max
con las restricciones
![G[f] = \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx = l](http://upload.wikimedia.org/math/e/8/5/e85b20aa3c302114bf2a2192d0355428.png)
(longitud de arco)
f(a) = f(b) = 0
editar Braquistocrona
El problema de la curva braquistocrona se remonta a J. Bernoulli (1696). Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del punto P = (x0,y0) al origen de modo que un punto material que se desliza sin fricción sobre ella tarda el menor tiempo posible en ir de P al origen. Usando principios de mecánica clásica el problema puede formularse como,
![T[f]=\int_{0}^{x_0}\frac {\sqrt{1+(f'(x))^2}}
{\sqrt{2g(y_0-y)}}\ dx =](http://upload.wikimedia.org/math/d/d/6/dd60eb86e12db0c4e6062ee55daf6ff1.png)
min
donde g es la gravedad y las restricciones son, f(0) = 0, f(x0) = y0. Hay que notar que en x = x0 existe una singularidad.