Wikipedia Gupiki Online ** www.karmienie.gupiki.info **

Jakas reklama

Cauchy–Schwarz’ ulikhet er en av de viktigste ulikhetene i lineær algebra. Den har sitt navn etter den franske matematikeren Augustin Louis Cauchy (1789-1857) og den tyske matematikeren Herman Amandus Schwarz (1843-1921). Trekantulikheten kan bevises ved å bruke Cauchy-Schwarz unlikhet.

For vektorer $\mathbf{u}=(u_1,u_2)$ og $\mathbf{v}=(v_1,v_2)$ i planet sier ulikheten at:

$|u_1v_1+u_2v_2|\leq\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}$ .

Generelt gjelder: For vektorer $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v}$ i et reelt vektorrom med indreprodukt $\cdot$ , eksempelvis det Euklidske n-rommet $\mathbb{R}^n$ , er

$|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\leq \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|$ .

Innhold

1 Eksempler
- 1.1 Vinkler
- 1.2 Amplityde for svingninger
2 Bevis

rediger Eksempler

rediger Vinkler

Ulikheten forsikrer at vinkelen mellom to vektorer, begge ulik $0$ , er veldefinert. Denne vinkelen $θ$ er spesifisert ved

$\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}$ og $0\leq\theta\leq\pi$ .

rediger Amplityde for svingninger

Svingninger beskrives ved en funksjon $f (x) = a cos(x) + b sin(x)$ , hvor $a$ og $b$ er parametere. Ved å se på $(a, b)$ og $(cos(x),sin(x))$ som vektorer i planet gir Cauchy-Schwarz’ ulikhet at

$|f(x)|=|a\cos(x)+b\sin(x)|\leq\sqrt{a^2+b^2}$

siden $cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1$ .

rediger Bevis

Dersom $\mathbf{u}$ eller $\mathbf{v}$ er lik $0$ , så er ulikheten opplagt. Anta derfor at begge vektorene er ulik $0$ .

La $t$ være en skalar, og se på vektoren $t\mathbf{u}+\mathbf{v}$ . Vi har

$(t\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot(t\mathbf{u}+\mathbf{v})\geq0$ .

Ved å multiplisere ut venstre side og betrakte den som et polynom i $t$ , får vi

$\|\mathbf{u}\|^2t^2+2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})t+\|\mathbf{v}\|^2\geq0$ .

Et annengradspolynom $a t 2 + b t + c$ er større enn eller lik $0$ for alle $t$ dersom $a\geq0$ og diskriminanten $D = b 2 - 4 a c$ er mindre enn eller lik $0$ . I vårt tilfelle fås:

$(2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}))^2-4\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2\leq0$ .

En rydder opp og ser at:

$(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2\leq\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2$ .

Cauchy-Schwartz’ ulikhet fremkommer nå ved å ta kvadratrot på begge sider:

$|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\leq \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|$ .