Wikipedia Gupiki Online ** www.karmienie.gupiki.info **

Jakas reklama

Dwójkowy zegarek pokazujący godzinę 3:25

Dwójkowy system liczbowy (inaczej binarny) to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwie cyfry: 0 i 1.

Powszechnie używany w elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja (do dwóch) liczby stanów pozwala na zminimalizowanie przekłamań danych. Co za tym idzie, przyjął się też w informatyce.

Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi podstawy systemu.

Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:

$1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0=8+2=10.\;$

Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę danego systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać obok niej indeks. Np.

$10101_2=21_{10}\;$

W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste. Na przykład ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:

$0,625_{10} = 0,101_{2}=0\cdot 2^0 + 1 \cdot 2^{-1} + 0 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3}\;$

$0,15_{10} = 0,00(1001)_{2}\;$

$0,28_{10} = 0,(01000111101011100001)_{2}\;$

ułamek zwykły:

$\frac{5_{10}}{7_{10}} = 0,(101)_2\;$

(nawiasem oznaczono okres ułamka)

Liczby niewymierne mają rozwinięcie nieokresowe:

$\sqrt{2_{10}} = 1,0110101000001001111001100110011111110\dots_2\;$

Spis treści

1 Obliczanie wartości dziesiętnej liczby zapisanej w systemie dwójkowym
2 Obliczanie wartości binarnej liczby zapisanej w systemie dziesiętnym
3 Działania na liczbach w systemie dwójkowym
4 Zobacz też
5 Linki zewnętrzne

edytuj Obliczanie wartości dziesiętnej liczby zapisanej w systemie dwójkowym

$11110_2 = 1\cdot 2^4 + 1\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0 =$
$=1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30\;$

Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne wartości w zależności od swojej pozycji - na końcu oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8, itd. Ponieważ $0\cdot 2^n=0\;$ oraz $1\cdot 2^n=2^n,\;$ aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

edytuj Obliczanie wartości binarnej liczby zapisanej w systemie dziesiętnym

Zamiana $3010$ na liczbę w systemie dwójkowym:

30 ÷ 2 = 15 reszty 0
15 ÷ 2 = 7 reszty 1
7 ÷ 2 = 3 reszty 1
3 ÷ 2 = 1 reszty 1
1 ÷ 2 = 0 reszty 1

Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca reszty. Tak więc $3010 = 11110 2$ .

127 ÷ 2 = 63 reszty 1            19 ÷ 2 = 9 reszty 1
63 ÷ 2 = 31 reszty 1            9 ÷ 2 = 4 reszty 1
31 ÷ 2 = 15 reszty 1            4 ÷ 2 = 2 reszty 0
15 ÷ 2 = 7 reszty 1             2 ÷ 2 = 1 reszty 0
7  ÷ 2 = 3 reszty 1               1 ÷ 2 = 0 reszty 1
3   ÷ 2 = 1 reszty 1
1   ÷ 2 = 0 reszty 1
$12710$ = $11111112$                        $1910$ = $100112$

edytuj Działania na liczbach w systemie dwójkowym

Dodawanie w systemie dwójkowym.

                  111111
                  1111111
              +     10011
                 10010010

Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym. Wystarczy zapamiętać, że 1 i 1 dają wynik 0 i 1 „w pamięci”. Wszystkie pozostałe operacje, jakie można spotykać przy takim dodawaniu, zawierają dodawanie zera.

Odejmowanie:

                  1111111
              -     10011
                  1101100

A w takiej sytuacji pożyczamy jedynkę:

     11101
-    10110
     00111

(zera z lewej strony, można wykreślić).

Mnożenie i dzielenie wykonuje się w systemie dwójkowym także podobnie jak w systemie dziesiętnym. Tabelka mnożenia jest trywialną.

edytuj Zobacz też

edytuj Linki zewnętrzne

Automatyczny przelicznik systemu dziesiętnego na system binarny i odwrotnie (en)