Jakas reklama 

 

Tau Kendalla – Statystyka będąca jedną z miar monotonicznej zależności dwóch zmiennych losowych.

Spis treści

edytuj Tau Kendalla dwóch zmiennych losowych

Ogólnie tau Kendalla jest definiowane jako[1]:

\tau=\operatorname{P}[(x_1-x_2)(y_1-y_2)>0]-\operatorname{P}[(x_1-x_2)(y_1-y_2)<0] (1)


Można też wyrazić tau Kendalla w terminach kopuł[1]:

\tau=4\int\limits_0^1\int\limits_0^1 C(u_1,u_2)\operatorname{d}C(u_1,u_2)-1

edytuj Tau Kendalla z próby

Zwykle estymuje się tau Kendalla dane wzorem (1) na podstawie próby statystycznej.

Aby je obliczyć, należy zestawić obserwacje z próby we wszystkie możliwe pary, a następnie podzielić te pary na trzy możliwe kategorie:

Estymator tau Kendalla obliczany jest wówczas ze wzoru:

\tau=\frac{P-Q}{P+Q+T}

Warto zauważyć, że:

P+Q+T={N\choose 2}=\frac{N(N-1)}{2}

gdzie N to liczność próby, tak więc wzór ten można przedstawić w postaci:

\tau=2\frac{P-Q}{N(N-1)}

edytuj Interpretacja

Tau Kendalla stanowi różnicę między prawdopodobieństwem, że porównywane zmienne będą układały się w tym samym porządku dla dwóch obserwacji, a prawdopodobieństwem, że ułożą się w przeciwnym porządku.

Tau Kendalla przyjmuje wartości od -1 do 1 włącznie. +1 oznacza, że każda ze zmiennych rośnie przy wzroście drugiej. -1 oznacza że każda maleje przy wzroście drugiej. Tym samym tau Kendalla, podobnie jak korelacja rangowa i rho Spearmana jest miarą monotonicznej zależności zmiennych losowych.

Ponieważ liczba par zgodnych, niezgodnych i wiązanych, a zatem również wartość tau nie zmienia się pod wpływem rangowania, tau Kendalla można uważać za jedną ze statystycznych metod rangowych.

edytuj Istotność statystyczna

Istotność statystyczna wyniku tau Kendalla jest równa jeden minus prawdopodobieństwo, że taki wynik może powstać przypadkowo dla zmiennych niezależnych. Ponieważ tau Kendalla jest metodą rangową, a rozkład rang jest niezależny od rozkładu zmiennych rangowanych (o ile nie ma rang wiązanych), więc określenie istotności nie wymaga żadnych założeń odnośnie rozkładów w próbie.

Wikiźródła
Zobacz w Wikiźródłach tablicę rozkładu normalnego

Dla małych prób tablice podają Siegel i Castellan (1988). Rozkład tau bardzo szybko dąży do rozkładu normalnego, więc dla prób N\ge 10 można już stosować rozkład normalny (Hays 1988).

edytuj Wersje

Tau Kendalla ma dobrą interpretację i właściwości statystyczne, jednak Wartości 1 i -1 nie wystąpią, gdy którakolwiek z porównywanych zmiennych ma tę samą wartość dla dwóch obserwacji. Intuicyjnie wydawałoby się, że miara pokazująca zależność dwóch zmiennych powinna dawać maksymalną wartość (czyli tu 1) jeśli porównamy jakąś zmienną z nią samą. W przypadku tau Kendalla nie będzie to jednak prawda, o ile zmienna przyjmie dla dwóch obserwacji tę samą wartość.

Zaproponowano szereg innych estymatorów z próby tau Kendalla, które nie mają tej właściwości. Dwa z nich, nazywane są tau-b i tau-c. Dla odróżnienia miara opisana wcześniej nazywana bywa tau-a. Miary te różnią się wartością tylko w przypadku występowania par wiązanych. W praktyce tau-b i tau-c są jednak rzadziej stosowane niż tau-a.

edytuj Związki z innymi miarami

edytuj Współczynnik korelacji

Współczynnik korelacji Pearsona służy do oceny liniowej zależności pomiędzy dwiema zmiennymi. Tau Kendalla mierzy zależność monotoniczną. Współczynniki te mierzą co innego, więc ich wartości nie są bezpośrednio porównywalne.

Tau Kendalla jako metoda rangowa jest odporne na obserwacje odstające, w przeciwieństwie do współczynnika korelacji.

Tau Kendalla jako metoda nieparametryczna nie czyni żadnych założeń dotyczących rozkładu zmiennych w populacji, nadaje się zatem do dowolnych rozkładów. Współczynnik korelacji ma poprawne wyprowadzenie matematyczne tylko dla wielowymiarowego rozkładu normalnego, dla innych rozkładów może nie mieć sensownej interpretacji, niepoprawnie działają również testy istotności statystycznej.

edytuj Rho Spearmana

Tau Kendalla i rho Spearmana to dwie miary zależności monotonicznej zmiennych losowych. Inne jest jednak ich wyprowadzenie i interpretacja. Tau Kendalla należy interpretować w kategoriach prawdopodobieństwa, natomiast rho Spearmana należy interpretować w kategoriach procentu wariancji rang jednej zmiennej, wyjaśnianej przez drugą zmienną.

Między tymi wartościami zachodzi nierówność[2][1]:

\frac{3}{2}\tau-\frac{1}{2}\leqslant \rho\leqslant \frac{1}{2}+\tau-\frac{1}{2}\tau^2\ \operatorname{dla}\ \tau\geqslant 0
\frac{1}{2}\tau^2+\tau-\frac{1}{2}\leqslant \rho\leqslant \frac{3}{2}\tau+\frac{1}{2}\ \operatorname{dla}\ \tau\leqslant 0

Podawane jest też[3][4] grubsze oszacowanie: -1\geq3\tau-2\rho_s\geq1

Można też pokazać, że jeśli przedstawimy łączny rozkład dwuwymiarowy zmiennych X i Y w postaci unormowanej do 1 macierzy prawdopodobieństwa m\times k o elementach [p_{ij}]\ , wówczas obydwie te wielkości dają się przedstawić za pomocą średnich ważonych z minorów stopnia drugiego (Kowalczyk 2000):

\tau=\sum_{i=1}^{m-1}\sum_{q=i+1}^{m}\sum_{j=1}^{k-1}\sum_{r=j+1}^{k} 2\begin{vmatrix} p_{ij} & p_{ir}\\ p_{qj} & p_{qr} \end{vmatrix}
\rho=\sum_{i=1}^{m-1}\sum_{q=i+1}^{m}\sum_{j=1}^{k-1}\sum_{r=j+1}^{k} w_{ijqr}\begin{vmatrix} p_{ij} & p_{ir}\\ p_{qj} & p_{qr} \end{vmatrix}

gdzie:

w_{ijqr}=12\left( \operatorname{Sc}_{row}(q)-\operatorname{Sc}_{row}(i)\right) \left( \operatorname{Sc}_{col}(r)-\operatorname{Sc}_{col}(j)\right)

a \operatorname{Sc}_{row} i \operatorname{Sc}_{col} to tzw. skory gradacyjne (grade scores):

\operatorname{Sc}_{row}(i)=\left( \sum_{a=1}^{i-1}\sum_{b=1}^{k}p_{ab}\right) +\frac{1}{2}\sum_{b=1}^{k}p_{ib}
\operatorname{Sc}_{col}(j)=\left( \sum_{a=1}^{m}\sum_{b=1}^{j-1}p_{ab}\right) +\frac{1}{2}\sum_{a=1}^{m}p_{aj}

edytuj Analiza odpowiedniości oparta o tau

Klasyczna analiza odpowiedniości (inna nazwa: analiza korespondencji) jest metodą statystyczną, która wszystkim możliwym wartościom dwóch zmiennych nominalnych przyporządkowuje takie liczby (tzw. scory), aby przy pewnych założeniach maksymalizować współczynnik korelacji Pearsona między tymi zmiennymi.

Zespół prof. Elżbiety Pleszczyńskiej opracował odpowiedniki klasycznej analizy odpowiedniości, zwane gradacyjną analizą odpowiedniości (GCA), które maksymalizują rho Spearmana oraz tau Kendalla[5].

edytuj Zobacz też

edytuj Przypisy

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 Pravin K. Trivedi, David M. Zimmer. Copula Modeling: An Introduction for Practitioners. Foundations and Trends in Econometrics. Volume 1 Issue 1 DOI:10.1561/0800000005. 
  2. ↑ J. Durbin, A. S. Stuart. Inversions and rank correlations. Journal of Royal Statistical Society Series. B 2: 303-309 (1951). 
  3. ↑ H.E. Daniels: Rank correlation and population models. J R Statist Soc B (1950), 171-181. 
  4. ↑ Siegel i Castellan (1988)
  5. ↑ T. Kowalczyk, E. Pleszczyńska, F. Ruland, (red.): Grade Models and Methods for Data Analysis with Applications for the Analysis of Data Populations. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 2004, seria: Studies in Fuzziness and Soft Computing vol. 151. ISBN 9783540211204. 

edytuj Bibliografia

. - . - . - . - . pasywny dochod Województwo świętokrzyskie trening odżywki tłumaczenia hiszpański dekoracje ślubne www.sekcjalucznicza.pl mapa SZTUĆCE gry logiczne akcesoria łazienkoweJęzyk angielski Angielski Angielski | fajne książki | Ludzie bezdomni | Gryzmoły | Artykuły | Artykuły | Teksty | Król Edyp | Opowieść wigilijna | Dżuma | Proces | Baczyński | angielski angielski angielski | Quo vadis | Najlepsze szkoły językowe warszawa Tanio